MBA聯考數學：排列、組合、概率的概念解析

2014-09-17 13:22 | 太奇MBA網

　　排列、組合、概率都與集合密切相關，在MBA聯考中都占有重要比重。排列和組合都是求集合元素的個數，概率是求子集元素個數與全集元素個數的比值。

　　以最常見的全排列為例，用S(A)表示集合A的元素個數。用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，則每一個九位數都是集合A的一個元素，集合A中共有9!個元素，即S(A)=9!

　　如果集合A可以分為若干個不相交的子集，則A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集，可以把復雜的問題化為若干簡單的問題分別解決，但我們要詳細分析各子集之間是否確無公共元素，否則會重復計算。

　　集合的對應關系

　　兩個集合之間存在對應關系(以前學的函數的概念就是集合的對應關系)。如果集合A與集合B存在一一對應的關系，則S(A)=S(B)。如果集合B中每個元素對應集合A中N個元素，則集合A的元素個數是B的N倍(嚴格的定義是把集合A分為若干個子集，各子集沒有共同元素，且每個子集元素個數為N，這時子集成為集合A的元素，而B的元素與A的子集有一一對應的關系，則S(A)=S(B)*N

　　例如：從1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六個數，問能組成多少個數字不重復的六位數。

　　集合A為數字不重復的九位數的集合，S(A)=9!

　　集合B為數字不重復的六位數的集合。

　　把集合A分為子集的集合，規則為前6位數相同的元素構成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數，等于剩余的3個數的全排列，即3!

　　這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關系，則

　　S(A)=S(B)*3!

　　S(B)=9!/3!

　　組合與排列的區別在于，每一個組合中的各元素是沒有順序的。無論這些元素怎樣排列，都只當作一種組合方式。所以在計算組合數的時候，只要分步，就意味有次序。取N次，N件物品的N!種排列方式都會被當作不同選法，該選法就重復計了N!次。比如10個球中任取三個球，取法應該是C(10，3)，但如果先從10個中取一個，得C(10，1)，再從9個中取一個得C(9，1)，再從8個中取一個得C(8，1)，再相乘結果成了P(10，3)，結果增大了3!倍。

　　概率的概念。在有限集合的情況下，概率是子集元素個數與全集元素個數的比值。在無限集合的情況下，概率是代表子集的點的面積與代表全集的點的面積的比值。

　　概率分布函數可以描述概率分布的全貌。離散型的概率分布是一組數列，計算事件發生的概率、數學期望和方差都使用數列的計算方法。連續型的概率分布是一個函數， 它等于概率密度函數的積分，計算事件發生的概率、數學期望和方差都使用積分的計算方法。

　　概率的概念不難理解，解題能力決定于對數列和積分中的方法掌握的熟練程度。