MBA考試數學?？贾R點：數列
2016-04-28 14:41 | 太奇MBA網
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數列的函數理解：
①數列是一種特殊的函數。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個“定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}"的函數，其中的”{1，2，3，…，n}“不能省略。②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。③函數不一定有解析式，同樣數列也并非都有通項公式。
數列的一般形式可以寫成
a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，…
簡記為{an}，
項數有限的數列為“有窮數列”(finite sequence)，項數無限的數列為“無窮數列”(infinite sequence)。
數列的各項都是正數的為正項數列;
從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列;如：1，2，3，4，5，6，7;
從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列;如：8，7，6，5，4，3，2，1;
從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列叫做擺動數列; 各項呈周期性變化的數列叫做周期數列(如三角函數);
各項相等的數列叫做常數列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。
通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式(注：通項公式不唯一)。
遞推公式：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。
數列中項的總數為數列的項數。特別地，數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數an=f(n)。
如果可以用一個公式來表示，則它的通項公式是a(n)=f(n).
并非所有的數列都能寫出它的通項公式。例如：π的不同近似值，根據精確的程度，可形成一個數列3，3.1，3.14，3.141，…它沒有通項公式。
數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是復數。
用符號{an}表示數列，只不過是“借用”集合的符號，它們之間有本質上的區別：1.集合中的元素是互異的，而數列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。
表示方法
如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式。如an=(-1)^(n+1)+1。
數列通項公式的特點：(1)有些數列的通項公式可以有不同形式，即不唯一。(2)有些數列沒有通項公式
如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)
數列遞推公式的特點：(1)有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。(2)有些數列沒有遞推公式
等差數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列(arithmetic sequence)，這個常數叫做等差數列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前N項和用Sn表示。
縮寫
等差數列可以縮寫為A.P.(Arithmetic Progression)。
等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項(arithmetic mean)。
有關系：A=(a+b)/2
通項公式
an=a1+(n-1)d
a1=S1(n=1)時
an=Sn-S(n-1) (n≥2)時
an=kn+b(k,b為常數)
前n項和
倒序相加法推導前n項和公式：
Sn=a1+a2+a3······+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n個)=n(a1+an)
固 Sn=n(a1+an)/2
等差數列的前n項和等于首末兩項的和與項數乘積的一半：
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性質
且任意兩項am，an的關系為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)(an+1)
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數列，等等。
前n項和=(首項+末項)×項數÷2
項數=(末項-首項)÷公差+1
首項=2×前n和÷項數-末項
末項=2×前n和÷項數-首項
設a1,a2,a3為等差數列。則a2為等差中項，則2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
應用
日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。
若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。
其于數學的中的應用，可舉例：
快速算出從23到132之間6的整倍數有多少個
算法不止一種，這里介紹用數列算
令等差數列首項a1=24(24為6的4倍)，等差d=6,;
于是令an = 24+(n-1)*6<=132即可解出n=19
等比數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列(geometric sequence)。這個常數叫做等比數列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示。
縮寫
等比數列可以縮寫為G.P.(Geometric Progression)。
等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。
有關系：G^2=ab;G=±(ab)^(1/2)
注：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G^2=ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件。
通項公式
an=a1q^(n-1)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n項和
當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
當q=1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=na1
性質
(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;
(2)在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列。
(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底指數冪后構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
(5) 等比數列前n項之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(6)任意兩項am，an的關系為an=am·q^(n-m)
(7)在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。
注意：上述公式中a^n表示A的n次方。
應用
等比數列在生活中也是常常運用的。
如：銀行有一種支付利息的方式---復利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。 按照復利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
(1)等比數列的通項公式是：An=A1*q^(n-1)
若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時，則可把an看作自變量n的函數，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。
(2)求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q不等于 1)
任意兩項am，an的關系為an=am·q^(n-m)
(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底對數后構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
等和數列
定義
“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列，如果其任意的連續k(k≥2)項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列
性質
必定是循環數列
證明：對任意正整數n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k， 所以對任意正整數n，an = an+k，如果這個數列有n+k項的話。
練習
1、下面一列整數中(每個字母或括號都代表一個整數)，任意相臨的3個整數的和都是20，則x+y+z=? x，2，()，()，()，4，()，y，()，()，z
2.(2004年湖南省理科實驗班聯合招生考試數學卷第2試第三題) 圓周上放著120個正數(不一定是整數)，今知其中任何相連的35個數的和都是200.證明：這些數中的每一個數都不超過30.(旁注：題目中“相連”即“相臨”之意) 答案： 第1題 ： x=14,y=2,z=2 ， 故： x+y+z=18 ; 第2題 ： (120,35)=5 ，使5個數為一組，每7組的和是200，那么每組有 200/7<30 所以每一個數都不超過30。列的通項求法
一般有
an=Sn-Sn-1 (n≥2)
累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...將以上各項相加可得an )。
累乘法
逐商全乘法(對于后一項與前一項商中含有未知數的數列)。
化歸法(將數列變形，使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列)。
特殊數列的通項的寫法
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2 9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9
衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[(10^n)-1]*n/9,n為1-9的整數
1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
前N項和公式的求法
(一)1.等差數列：
通項公式an=a1+(n-1)d 首項a1，公差d, an第n項數
ak=ak+(n-k)d ak為第k項數
若a,A,b構成等差數列 則 A=(a+b)/2
2.等差數列前n項和:
設等差數列的前n項和為Sn
即 Sn=a1+a2+...+an;
那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
還有以下的求和方法： 1,不完全歸納法 2 累加法 3 倒序相加法
(二)1.等比數列:
通項公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1為首項，an為第n項
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
則an/am=q^(n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2)a,G,b 若構成等比中項，則G^2=ab (a,b,G不等于0)
(3)若m+n=p+q 則 am×an=ap×aq
2.等比數列前n項和
設 a1,a2,a3...an構成等比數列
前n項和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(這個公式雖然是最基本公式，但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去，所以希望這個公式也要理解) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
注： q不等于1;
Sn=na1 注:q=1
求和一般有以下5個方法： 1,完全歸納法(即數學歸納法) 2 累乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法。
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