2017年MBA數學輔導：極限、連續、導數、積分
2016-06-02 11:23 | 太奇MBA網
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極限的概念是整個微積分的基礎，需要深刻地理解，由極限的概念才能引出連續、導數、積分等概念。極限的概念首先是從數列的極限引出的。對于任意小的正數E，如果存在自然數M，使所有N》M時，|A(N)-A|都小于E，則數列的極限為A。極限不是相等，而是無限接近。而函數的極限是指在X0的一個臨域內(不包含X0這一點)，如果對于任意小的正數E，都存在正數Q，使所有(X0-Q，X0+Q)內的點，都滿足|F(X)-A|《E，則F(X)在X0點的極限為A。很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。
例如F(X)=(X^2-3X+2)/(X-2),
X=2不在函數定義域內，但對于任何X不等于2，F(X)=X-1，因此在X無限接近2，但不等于2時，F(X)無 限接近1，因此F(X)在2處的極限為1。
連續的概念。如果函數在X0的極限存在，函數在X0有定義，而且極限值等于函數值，則稱F(X)在X0點連續。以上的三個條件缺一不可。
在上例中，F(X)在X=2時極限存在，但在X=2這一點沒有定義，所以函數在X=2不連續;
如果我們定義F(2)=1，補上“缺口”，則函數在X=2變成連續的;
如果我們定義F(2)=3，雖然函數在X=2時，極限值和函數值都存在，但不相等，那么函數在X=2還是不連續。
由連續又引出了左極限、右極限和左連續、右連續的概念。函數值等于左極限為左連續，函數值等于右極限為右連續。如果函數在X0點左右極限都存在，且都等于函數值，則函數在X=X0時連續。這個定義是解決分段函數連續問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。
如果函數在某個區間內每一點都連續，在區間的左右端點分別左右連續(對閉區間而言)，則稱函數在這個區間上連續。
導數的概念。導數是函數的變化率，直觀地看是指切線的斜率。略有不同的是，切線可以平行于Y軸，此時斜率為無窮大，因此導數不存在，但切線存在。
導數的求法也是一個極限的求法。對于X=X0，在X0附近另找一點X1，求X0與X1連線的斜率。當X1無限靠近X0，但不與X0重合時，這兩點連線的斜率，就是F(X)在X=X0處的導數。關于導數的題目多數可用導數的定義直接解決。教科書中給出了所有基本函數的導數公式，如果自己能用導數的定義都推導一遍，理解和記憶會更深刻。其中對數的導數公式推導中用到了重要極限：limx-->0
(1+x)^(1/x)=e。
導數同樣分為左導數和右導數。導數存在的條件是：F(X)在X=X0連續，左右導數存在且相等。這個定義是解決分段函數可導問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。
如果函數在某個區間內每一點都可導，在區間的左右端點分別左右導數存在(對閉區間而言)，則稱函數在這個區間上可導。
復合函數的導數，例如f[u(x)]，是集合A中的自變量x，產生微小變化dx，引起集合B中對應數u的微小變化du，u的變化又引起集合C中的對應數f(u)的變化，則復合函數的導函數f’[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * du/dx=f’(u)*u‘(x)
導數在生活中的例子最常見的是距離與時間的關系。物體在極其微小的時間內，移動了極其微小的距離，二者的比值就是物體在這一刻的速度。對于自由落體運動，下落距離S=1/2gt^2，則物體在時間t0的速度為V(t0)=[S(t0+a)-S(t0)]/a,
當a趨近于0時的值，等于gt0; 而速度隨時間的增加而增加，變化的比率g稱為加速度。加速度是距離對時間的二階導數。
從直觀上看，可導意味著光滑的、沒有尖角，因為在尖角處左右導數不相等。有笑話說一位教授對學生抱怨道：“這飯館讓人怎么吃飯?你看這碗口，處處不可導!”
積分的概念。從面積上理解，積分就是積少成多，把無限個面積趨近于0的線條，累積在一起，就成為大于0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長的長方形(長方形的高度都取函數在左端或右端的函數值)，分別計算各個長方形的面積再加總，可近似地得出圖形的面積。當我們把長方形的寬度設定得越來越窄，計算結果就越來越精確，與圖形實際面積的差距越來越小。如果函數的積分存在，則長方形寬度趨近于0時，求出的長方形面積總和的極限存在，且等于圖形的實際面積。這里又是一個極限的概念。
如果函數存在不連續的點，但在該點左右極限都存在，函數仍是可積的。只要間斷點的個數是有限的，則它們代表的線條面積總和為0，不影響計算結果。
在廣義積分中，允許函數在無限區間內積分，或某些點的函數值趨向無窮大，只要積分的極限存在，函數都是可積的。
嚴格地說，我們只會計算長方形的面積。從我們介紹的積分的求法看，我們實際上是把求面積化為了數列求和的問題，即求數列的前N項和S(N)，在N趨近于無窮大時的極限。很多時候，求積分和求無限數列的和是可以相互轉換的。當我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后，我們同樣可用它來解決相當棘手的數列求和問題。
例如：求LIM Nà正無窮大時，1/N*[1+1/(1+1/N)+1/(1+2/N)+。。。+1/(1+(N-1)/N)+1/2]的值。
看似無從下手，可當我們把它轉化為一連串的小長方形的面積之后，不禁會恍然大悟：這不是F(X)=1/X在[1，2]上的積分嗎?從而輕松得出結果為ln2。
除了基本的積分公式外，換元法和分步法是常用的積分方法。換元積分法的實質是把原函數化為形式簡單的復合函數;分步積分法的要領是：在∫udv=uv-∫vdu中，函數u微分后應該變簡單(比如次數降低)，而函數v積分后不會變得更復雜。
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